L'insaisissable "Einstein" résout un problème mathématique de longue date

Et tout a commencé avec un amateur "qui s'amusait et expérimentait avec des formes".

Un "monotile apériodique", ou einstein, est une forme qui recouvre une surface plane infinie selon un motif non répétitif. Les auteurs d'un nouvel article ont appelé leur einstein "le chapeau", car il ressemble à un feutre.Crédit...Craig Kaplan

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Par Siobhan Roberts

En novembre dernier, après une décennie de tentatives infructueuses, David Smith, un amateur de formes autoproclamé de Bridlington dans l'East Yorkshire, en Angleterre, soupçonnait qu'il aurait pu enfin résoudre un problème ouvert dans les mathématiques du carrelage : c'est-à-dire qu'il pensait qu'il aurait peut-être découvert un « einstein ».

En termes moins poétiques, un einstein est un «monotile apériodique», une forme qui recouvre un plan ou une surface plane bidimensionnelle infinie, mais uniquement selon un motif non répétitif. (Le terme "einstein" vient de l'allemand "ein stein" ou "une pierre" - plus vaguement, "une tuile" ou "une forme".) Votre papier peint ou carrelage typique fait partie d'un motif infini qui se répète périodiquement ; lorsqu'il est décalé ou "traduit", le motif peut être exactement superposé sur lui-même. Un pavage apériodique n'affiche pas une telle "symétrie translationnelle", et les mathématiciens ont longtemps cherché une forme unique qui pourrait paver le plan de cette manière. C'est ce qu'on appelle le problème d'Einstein.

"Je suis toujours en train de déconner et d'expérimenter des formes", a déclaré M. Smith, 64 ans, qui a travaillé comme technicien d'impression, entre autres emplois, et a pris sa retraite anticipée. Même s'il aimait les mathématiques au lycée, il n'y excellait pas, dit-il. Mais il a longtemps été « obsessionnellement intrigué » par le problème d'Einstein.

Et maintenant, un nouvel article - de M. Smith et de trois co-auteurs ayant une expertise en mathématiques et en informatique - prouve que la découverte de M. Smith est vraie. Les chercheurs ont appelé leur einstein "le chapeau", car il ressemble à un feutre. (M. Smith arbore souvent un bandana noué autour de sa tête.) Le document n'a pas encore été examiné par des pairs.

"Cela semble être une découverte remarquable !" Joshua Socolar, un physicien de l'Université Duke qui a lu une première copie de l'article fourni par le New York Times, a déclaré dans un e-mail. "L'aspect le plus important pour moi est que le carrelage ne relève clairement d'aucune des classes familières de structures que nous comprenons."

"Le résultat mathématique soulève des questions de physique intéressantes", a-t-il ajouté. "On pourrait imaginer rencontrer ou fabriquer un matériau avec ce type de structure interne." Le Dr Socolar et Joan Taylor, une chercheuse indépendante à Burnie, en Tasmanie, ont précédemment trouvé un monotile hexagonal composé de pièces déconnectées, ce qui, selon certains, étendait les règles. (Ils ont également trouvé une version 3D connectée de la tuile Socolar-Taylor.)

Initialement, les activités de pavage mathématique étaient motivées par une question générale : existait-il un ensemble de formes qui ne pouvaient paver le plan que de manière non périodique ? En 1961, le mathématicien Hao Wang a conjecturé que de tels ensembles étaient impossibles, mais son élève Robert Berger a rapidement prouvé que la conjecture était fausse. Le Dr Berger a découvert un ensemble apériodique de 20 426 tuiles, puis un ensemble de 104.

Puis le jeu est devenu : combien de tuiles feraient l'affaire ? Dans les années 1970, Sir Roger Penrose, un physicien mathématicien de l'Université d'Oxford qui a remporté le prix Nobel de physique 2020 pour ses recherches sur les trous noirs, a réduit le nombre à deux.

D'autres ont depuis trouvé des formes pour deux tuiles. "J'en ai une paire ou deux à moi", a déclaré Chaim Goodman-Strauss, un autre des auteurs de l'article, professeur à l'Université de l'Arkansas, qui détient également le titre de mathématicien de sensibilisation au National Museum of Mathematics de New York.

Il a noté que les carrés noirs et blancs peuvent également créer des motifs non périodiques étranges, en plus du motif en damier périodique familier. "C'est vraiment assez trivial de pouvoir créer des motifs étranges et intéressants", a-t-il déclaré. La magie des deux carreaux de Penrose est qu'ils ne font que des motifs non périodiques - c'est tout ce qu'ils peuvent faire.

"Mais alors le Saint Graal était, pourriez-vous faire avec une - une tuile?" a déclaré le Dr Goodman-Strauss.

Il y a quelques années à peine, Sir Roger était à la poursuite d'un einstein, mais il a mis cette exploration de côté. "J'ai réduit le nombre à deux, et maintenant nous l'avons réduit à un !" dit-il du chapeau. "C'est un tour de force. Je ne vois aucune raison de ne pas y croire."

L'article a fourni deux preuves, toutes deux exécutées par Joseph Myers, co-auteur et développeur de logiciels à Cambridge, en Angleterre. L'une était une preuve traditionnelle, basée sur une méthode précédente, plus un code personnalisé ; un autre a déployé une nouvelle technique, non assistée par ordinateur, imaginée par le Dr Myers.

Sir Roger a trouvé les preuves "très compliquées". Néanmoins, il était "extrêmement intrigué" par l'einstein, il a dit: "C'est une très bonne forme, d'une simplicité frappante."

La simplicité est venue honnêtement. Les enquêtes de M. Smith étaient pour la plupart manuelles; l'un de ses co-auteurs l'a décrit comme un "bricoleur imaginatif".

Pour commencer, il "jouait" sur l'écran de l'ordinateur avec PolyForm Puzzle Solver, un logiciel développé par Jaap Scherphuis, un passionné de carrelage et théoricien des puzzles à Delft, aux Pays-Bas. Mais si une forme avait du potentiel, M. Smith a utilisé une machine de découpe Silhouette pour produire un premier lot de 32 exemplaires à partir de papier cartonné. Ensuite, il emboîtait les tuiles ensemble, sans espaces ni chevauchements, comme un puzzle, réfléchissant et faisant pivoter les tuiles si nécessaire.

"C'est toujours agréable de mettre la main à la pâte", a déclaré M. Smith. "Cela peut être assez méditatif. Et cela permet de mieux comprendre comment une forme se pave ou non."

Lorsqu'en novembre, il a trouvé une tuile qui semblait remplir l'avion sans motif répétitif, il a envoyé un courriel à Craig Kaplan, co-auteur et informaticien à l'Université de Waterloo.

"Cette forme pourrait-elle être une réponse au soi-disant" problème d'Einstein "- ne serait-ce pas une chose?" M. Smith a écrit.

"Il était clair que quelque chose d'inhabituel se produisait avec cette forme", a déclaré le Dr Kaplan. Adoptant une approche informatique basée sur des recherches antérieures, son algorithme a généré des bandes de plus en plus larges de tuiles chapeau. "Il ne semblait pas y avoir de limite à la taille d'une masse de tuiles que le logiciel pouvait construire", a-t-il déclaré.

Avec ces données brutes, M. Smith et le Dr Kaplan ont étudié la structure hiérarchique du pavage à l'œil nu. Le Dr Kaplan a détecté et déverrouillé un comportement révélateur qui a ouvert une preuve d'apériodicité traditionnelle - la méthode que les mathématiciens "sortent du tiroir chaque fois que vous avez un ensemble candidat de tuiles apériodiques", a-t-il déclaré.

La première étape, a déclaré le Dr Kaplan, consistait à "définir un ensemble de quatre" métatiles ", des formes simples qui remplacent de petits groupes d'un, deux ou quatre chapeaux". Les métatiles s'assemblent en quatre formes plus grandes qui se comportent de manière similaire. Cet assemblage, des métatuiles aux supertuiles aux supersupertuiles, à l'infini, couvrait "des 'étages' mathématiques de plus en plus grands avec des copies du chapeau", a déclaré le Dr Kaplan. "Nous montrons ensuite que ce type d'assemblage hiérarchique est essentiellement le seul moyen de carreler l'avion avec des chapeaux, ce qui s'avère suffisant pour montrer qu'il ne peut jamais carreler périodiquement."

"C'est très intelligent", a déclaré le Dr Berger, un ingénieur électricien à la retraite de Lexington, Mass., dans une interview. Au risque de paraître pointilleux, il a souligné que, parce que le carrelage en forme de chapeau utilise des reflets - le carrelage en forme de chapeau et son image miroir - certains pourraient se demander s'il s'agit d'un ensemble de monotiles apériodiques à deux carreaux, et non à un seul.

Le Dr Goodman-Strauss avait soulevé cette subtilité sur une liste de diffusion : « Y a-t-il un chapeau ou deux ? » Le consensus était qu'un monotile compte comme tel même en utilisant sa réflexion. Cela laisse une question ouverte, a déclaré le Dr Berger : Existe-t-il un einstein qui fera le travail sans réfléchir ?

Le Dr Kaplan a précisé que "le chapeau" n'était pas une nouvelle invention géométrique. C'est un polykite - il se compose de huit cerfs-volants. (Prenez un hexagone et tracez trois lignes, reliant le centre de chaque côté au centre de son côté opposé ; les six formes qui en résultent sont des cerfs-volants.)

"Il est probable que d'autres ont envisagé cette forme de chapeau dans le passé, mais pas dans un contexte où ils ont procédé à l'étude de ses propriétés de carrelage", a déclaré le Dr Kaplan. "J'aime à penser qu'il se cachait à la vue de tous."

Marjorie Senechal, mathématicienne au Smith College, a déclaré: "Dans un certain sens, il est resté assis là tout ce temps, attendant que quelqu'un le trouve." Les recherches du Dr Senechal explorent le domaine voisin de la cristallographie mathématique et les liens avec les quasi-cristaux.

"Ce qui m'impressionne le plus, c'est que ce pavage apériodique est posé sur une grille hexagonale, qui est à peu près aussi périodique que possible", a déclaré Doris Schattschneider, mathématicienne à l'Université de Moravie, dont les recherches portent sur l'analyse mathématique des pavages périodiques, en particulier ceux de l'artiste néerlandais MC Escher.

Le Dr Sénéchal a accepté. "Il est assis dans les hexagones", a-t-elle déclaré. "Combien de personnes vont se donner des coups de pied dans le monde en se demandant pourquoi je n'ai pas vu ça ?"

Incroyablement, M. Smith a trouvé plus tard un deuxième einstein. Il l'appelait "la tortue" - un polykite composé non pas de huit cerfs-volants mais de 10. C'était "étrange", a déclaré le Dr Kaplan. Il s'est rappelé s'être senti paniqué; il était déjà "jusqu'au cou dans le chapeau".

Mais le Dr Myers, qui avait fait des calculs similaires, a rapidement découvert un lien profond entre le chapeau et la tortue. Et il a discerné qu'en fait, il y avait toute une famille d'einstein apparentés - une infinité continue et indénombrable de formes qui se transforment l'une en l'autre.

M. Smith n'était pas tellement impressionné par certains des autres membres de la famille. "Ils ressemblaient un peu à des imposteurs ou à des mutants", a-t-il déclaré.

Mais cette famille d'Einstein a motivé la deuxième preuve, qui offre un nouvel outil pour prouver l'apériodicité. Les calculs semblaient "trop ​​beaux pour être vrais", a déclaré le Dr Myers dans un e-mail. "Je ne m'attendais pas à une approche aussi différente pour prouver l'apériodicité - mais tout semblait tenir ensemble lorsque j'écrivais les détails."

Le Dr Goodman-Strauss considère la nouvelle technique comme un aspect crucial de la découverte ; à ce jour, il n'y avait qu'une poignée de preuves d'apériodicité. Il a concédé que c'était du "fromage fort", peut-être seulement pour les connaisseurs invétérés. Il lui a fallu quelques jours pour traiter. "Alors j'ai été foudroyé", a-t-il déclaré.

M. Smith a été étonné de voir le document de recherche se rassembler. "Je n'ai été d'aucune aide, pour être honnête." Il a apprécié les illustrations, il a dit : "Je suis plutôt un photographe."

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